Plinko Big Board Path Counts

Start in Column A:
The numbers in red are subtracted.  The numbers in blue give the resulting path count.
        A   B   C   D
 
E
 
F
 
  
G
 
 
 
 
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 1
 
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 1
 
2
-1
1
 
1
 
 
 
          
 
  
 
 
1 
 
 3
 
3
-1
2
 
1
 
                
 
 1
 
 4
 
6
-3
-1
2
 
4
-1
3
 
1
 
                
1
 
 5
 
 10
 
10
-4
-1
5
 
5
-1
4
 
1
 
              
           
1
 
6
 
15
 
20
-10
-5
5
 
15
-5
-1
9
 
6
-1
5
 
1
              
         
1
 
7
 
21
 
35
 
35
-15
-6
14
 
21
-6
-1
14
 
7
-1
6
 
1
            
       
1
 
8
 
28
 
56
 
70
-35
-21
14
 
56
-21
-7
28
 
28
-7
-1
20
 
8
-1
7
 
1
          
     
1
 
9
 
36
 
84
 
126
 
126
-56
-28
42
 
84
-28
-8
48
 
36
-8
-1
27
 
9
-1
8
   1        
   
1
 
10
 
45
 
120
 
210
 
252
-126
-84
42
 
210
-84
-36
90
 
120
-36
-9
75
 
45
-9
-1
35
 
10
-1
9
   1      
 
1
 
11
 
55
 
165
 
330
 
462
 
462
-210
-120
132
 
330
-120
-45
165
 
165
-45
-10
110
 
55
-10
-1
44
 
 11
-1
10		   1     
1
 
12
 
66
 
220
 
495
 
792
 
924
-462
-330
132
 
792
-330
-165
297
 
495
-165
-55
275
 
220
-55
-11
154
 
66
-11
-1
54
   12
-1
11		   1 0
 
    
 
A'
 
B'
 
C'
 
D'
 
E'
 
F'
 
G'
 I'
 
 
 
 
$
1
0
0
 
$
5
0
0
 
$
1
0
0
0
 
$
0
 
$
1
0
0
0
0
 
$
0
 
$
1
0
0
0
  
Start in Column B:
The numbers in red are subtracted.  The numbers in blue give the resulting count.
        A   B   C   D

 

E

 

F

 

 G  

I

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

1

 

2

 

1

 

          

 

    

 

 

 

 1

 

3

 

3

 

 1                

 

 1

 

 4
-1
 3

 

6

 

4

 

1

 

              
1

 

 5

 

 10
-1
 9

 

10

 

5

 

1

              
           

1

 

6

 

15
-5
-1
9

 

20
-1
19

 

15

 

6

 

1

            
         

1

 

7

 

21

 

35
-6
-1
28

 

35
-1
34

 

21

 

7

 

1

          
       

1

 

8

 

28

 

56
-21
-7
28

 

70
-7
-1
54

 

56
-1
54

 

28

 

8

 

1

        
     

1

 

9

 

36

 

84

 

126
-28
-8
90

 

126
-8
-1
117

 

84
-1
83

 

36

 

9

   1      
   

1

 

10

 

45

 

120

 

210
-84
-36
90

 

252
-36
-9
207

 

210
-9
-1
200

 

120
-1
21

 

45

 

10

   1    
 

1

 

11

 

55

 

165

 

330

 

462
-120
-45
417

 

462
-45
-10
407

 

330
-10
-1
319

 

165
-1
164

 

55

 

 11   1   

1

 

12

 

66

 

220

 

495

 

792
-330
-165
297

 

924
-165
-55
704

 

792
-55
-11
726

 

495
-11
-1
483

 

220
-1
219

 

66

   12   1

 

    

 

A'

 

B'

 

C'

 

D'

 

E'

 

F'

 

G'

   H'

 

 

 

 

$
1
0
0

 

$
5
0
0

 

$
1
0
0
0

 

$
0

 

$
1
0
0
0
0

 

$
0

 

$
1
0
0
0

   $
5
0
0

A pattern has emerged (see reference Haws[3], main demo page) .  Imagine folding the numbers to the left of the edge back over the board, using the outer edge of the board as the fold line.  The "folded" numbers are subtracted from the numbers inside the board.  In the previous case, fold over the red column and subtract to obtain the path counts in the last row.  The path counts are in the magenta-colored row.

 

1   12   66   220   495   792   924   792   495   220   66   12   1
                    -495   -220   -66   -12   -1            
                    297   704   726   483   219   66   12   1

Taking advantage of this pattern, we can obtain the path counts for each of the ending slots without counting all the possible outcomes in the previous rows.  Final path counts are shown in the magenta-colored rows.

Start in Column C:

1   12   66   220   495   792   924   792   495   220   66   12   1
                -220   -66   -12   -1                    
                275   726   912   791   495   220   66   12   1
                A'   B'   C'   D'   E'   F'   G'   H'   I'
                $
1
0
0 		  $
5
0
0 		  $
1
0
0
0 		  $
0 		  $
1
0
0
0
0 		  $
0 		  $
1
0
0
0 		  $
5
0
0 		  $
1
0
0

Start in Column D: Notice in this case, we must reflect over the right side of the board as well.

1   12   66   220   495   792   924   792   495   220   66   12   1
            -66   -12   -1                       -1    
            154   483   791   924   792   495   220   66   11    
            A'   B'   C'   D'   E'   F'   G'   H'   I'    
            $
1
0
0 		  $
5
0
0 		  $
1
0
0
0 		  $
0 		  $
1
0
0
0
0 		  $
0 		  $
1
0
0
0 		  $
5
0
0 		  $
1
0
0 		   

Path counts for columns F, G, H, and I may be obtained using symmetry.